MATEMÁTICAS II


MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA II

LA HERENCIA. Don Manuel, un señor de Agaete (Gran Canaria), desea repartir cierta suma de dinero entre tres herederos: Rosa, Francisco y Salvador, en partes directamente proporcionales a los números 16, 14 y 12. En un segundo testamento cambia las disposiciones anteriores y establece que el reparto sea proporcional a 12, 10 y 8. Uno de los beneficiarios recibiría, así, 105000 euros más que en la primera disposición. ¿Cuál de los herederos gana con el cambio? ¿Cuál de ellos pierde? ¿Cuál es el valor de la herencia y cuánto corresponde a cada uno?
Debes resolver el problema por dos caminos diferentes:
a)      Mediante el uso exclusivo de fracciones.
b)      Aplicando las técnicas de la proporcionalidad (ecuaciones).

Representa gráficamente, mediante modelos globales de áreas (rectangulares), de conjuntos y de línea numérica, las dos disposiciones testamentarias (Total: 6 gráficos).
Además, debes escribir en una tabla el valor de la herencia y lo que le corresponde a cada heredero en los dos testamentos.

Valor de la Herencia (€)
1er Testamento
2º Testamento
Rosa


Francisco


Salvador



Explica detalladamente cada paso realizado.

 
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UA2. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA

2.1. NIVELES DE VAN HIELE.
Describe las características principales de los tres primeros niveles del modelo clásico de Van Hiele: visualización, análisis y clasificación.
Busca en la Red el cuadro de Wassily Kandinsky titulado “Yellow Red Blue” cuyas características son: 1925, 127x200 cm; Centre George Pompidou, Paris. A partir de él, para cada uno de los tres primeros niveles de razonamiento que contempla el modelo clásico de los Van Hiele, redacta dos actividades que podrían proponerse a estudiantes que se encuentren en cada uno de esos niveles.
Las actividades deben redactarse tal como se las presentarías a un estudiante del nivel correspondiente, de modo que, si es preciso, aparezcan las representaciones (dibujos) que, en su caso, deban acompañar al texto del enunciado. Así, por ejemplo, no deben escribir textos similares a éste: “Le presentaría al niño un conjunto de cuadriláteros para que, diga cuál de ellos….”, sino escribir: “Dados los cuadriláteros que aparecen a continuación, debes indicar cuál de ellos…”.
Todas las actividades deben estar basadas en el cuadro. Es decir, debes incluir en cada actividad imágenes extraídas del cuadro.
(5 puntos)
2.2.  LA DIAGONAL DEL CUADRADO. 
a) ¿En qué porcentaje, p, aumenta la diagonal de un cuadrado cuando su lado, de medida  a, aumenta en una unidad? 
b) Representación gráfica de la función p = p(a). 
Completa la siguiente tabla de valores:
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p (a)











Estos 10 puntos deben aparecer representados en la gráfica de la función. ¿Qué modelo de función has obtenido?
(5  puntos)  

 
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UA3. EL RAZONAMIENTO EN GEOMETRÍA

3.1. CERILLAS (FÓSFOROS).   

a) La configuración 1 está formada por 3 cerillas, la 2 lo está por 9 cerillas, etc. Mediante una búsqueda inductiva, determina cuál es el número de cerillas que tendrá la configuración número 12, si se mantiene el mismo criterio de construcción.
b) ¿Por cuántas cerillas estará constituida la enésima configuración?
c) Representa gráficamente la función C(n) obtenida y comenta la gráfica. ¿Qué modelo de función es?
(5 puntos)

3.2. MODELO VISUAL GEOMÉTRICO (TEOREMA DE PITÁGORAS).
Explica claramente cómo se puede demostrar el teorema de Pitágoras a partir del modelo visual de la figura que sigue, debido a J. A. Garfield (1876), que fue Presidente de los Estados Unidos de América.











                                                                 (5 puntos)








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UA4. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL PLANO

ÁREA Y PERÍMETRO EN EL PPTC.
En relación con el polígono de abajo (pato), que se ha trazado en el PPTC (papel punteado de trama cuadrada):
a) Determina su área mediante el método de adición (división del polígono dado en figuras elementales convenientemente construidas y determinación de la suma de las áreas de cada una de ellas).
(3 puntos)
b) Calcula su área mediante el método de complementación (inclusión del polígono en un rectángulo o cuadrado, que tenga la menor área posible, y la posterior sustracción al área de dicho rectángulo o cuadrado del área de la “figura complementaria”, es decir, la figura exterior al polígono dado, pero interior al rectángulo. Nótese que para la obtención del área de dicha “figura complementaria” hay que subdividirla previamente, de forma conveniente, en figuras elementales).
(3 puntos)
c) Comprueba el área obtenida en los apartados anteriores mediante la Fórmula de Pick.
(1 punto)   
d) Halla tanto el valor exacto de su perímetro (suma simplificada de números reales), como su valor aproximado (expresión decimal con aproximación hasta las milésimas).
(3 puntos)







ADICIÓN










COMPLEMENTACIÓN
Observaciones:
En los métodos de adición y complementación debes considerar los siguientes aspectos,
1. La unidad de longitud (ul) es la distancia entre dos puntos consecutivos situados en la misma fila o en la misma columna.
2. La unidad de superficie (uc) es el cuadrado de lado unidad.
3. No se deben aplicar fórmulas del tipo:
Lado x Lado, Base x Altura, Base x Altura / 2
Solamente debes considerar el número de cuadrados unitarios contenidos en la figura.
4. Cuando descompongas la figura, debes dibujar todas las figuras elementales en que ha sido dividida.
5. Debes de tener en cuenta las descomposiciones más simples de la figura en cuadrados unitarios y triángulos.
4. Un geoplano virtual, en el que puedes construir figuras, lo puedes encontrar en:

 
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UA5. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS PLANAS

5.1. COMPOSICIÓN DE DOS SIMETRÍAS AXIALES. Considera el cuadrado de vértices A (-4,0), B (0,-4), C (4,0) y D (0,4) y las simetrías axiales S1 y S2, cuyos ejes respectivos son las rectas x = - 4 y la recta que pasa por los puntos A y B. Aplica al cuadrado la simetría axial S1 y luego al cuadrado transformado aplícale la simetría axial S2. Debes representar gráficamente, en unos ejes cartesianos, el cuadrado ABCD y los dos cuadrados obtenidos al aplicar sucesivamente las simetrías axiales S1 y S2. ¿Cuáles son los transformados de los 4 vértices del cuadrado ABCD en cada uno de los movimientos anteriores? Comprueba que la composición de las 2 simetrías axiales es un giro, determinando sus componentes (centro y ángulo de giro).  
Debes hacer una breve descripción de las propiedades de una simetría axial.
Es conveniente que a las coordenadas de los cuadrados transformados mediante las 2 simetrías axiales las denomines (A´, B´, C´, D´) y (A´´, B´´, C´´, D´´) o (A1, B1, C1, D1) y (A2, B2, C2, D2). ¿Cuál es la ecuación del segundo eje de simetría (recta que pasa por los puntos A y B)? ¿La simetría axial transforma toda figura en otra directa o inversamente igual a la primera? Interpreta la respuesta a la pregunta anterior (su significado).
 ¿Hay puntos dobles en las dos simetrías axiales? ¿Cuáles son? ¿Cuál es la medida del ángulo que forman los dos ejes de simetría? Debes hacer una breve descripción de las propiedades de un giro.
¿Cuáles son las coordenadas del centro de giro? ¿Cuál es la amplitud del ángulo de giro? ¿Hay puntos dobles en el giro? ¿Cuáles son?
Para la comprobación del giro, debes aplicarle al cuadrado inicial el giro obtenido y luego comprobar que el cuadrado girado (A´´´, B´´´, C´´´, D´´´) o (A3, B3, C3, D3) coincide con el obtenido mediante la composición de las 2 simetrías axiales. El cuadrado inicial y el cuadrado final, obtenido mediante el giro, ¿son directa o inversamente iguales? Interpreta la respuesta a la pregunta anterior (su significado). Debes utilizas el Geogebra o el Cabri Géomètre II Plus. 
      
(5 puntos)
5.2. RECTÁNGULO ÁUREO. Construye gráficamente un rectángulo áureo a partir de un cuadrado de lado 8 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones? Comprueba que el rectángulo construido es áureo. Determina, en mm2, la superficie del citado rectángulo.
Escribe en una tabla los valores exactos y aproximados (hasta las milésimas) de las dimensiones del rectángulo áureo (base, altura) y de su área. Los valores exactos se obtienen considerando solamente las raíces cuadradas, sin desarrollarlas, pero simplificando al máximo.
Comprueba que el rectángulo es áureo, considerando tanto sus dimensiones exactas como aproximadas.
Consulta la página Web:
Debes utilizas el Geogebra o el Cabri Géomètre II Plus. 
 (5 puntos)


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UA6. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO

6.1. LAS PELOTAS DE TENIS. Un fabricante de pelotas de tenis, de 6,8 cm de diámetro, quiere empaquetarlas en paquetes de ocho. El diseñador de la fábrica presenta dos alternativas:
1) En tubos cilíndricos, una bola encima de otra.
2) En cajas ortoédricas, con las ocho bolas en  posición de rectángulo (4x2).
    Los dos envases se construirían con el mismo material. El ingeniero jefe elige la que utiliza menos materia prima, ¿cuál elegirá?
    Debes representar gráficamente las dos alternativas, así como el desarrollo en el plano de los tubos cilíndricos y las cajas ortoédricas.
(5 puntos)

6.2. ESFERAS Y CUBO. Un niño construyó un cubo macizo de plastilina, de 8 cm de arista. Luego lo deformó y construyó, con toda la plastilina que componía el cubo, tres bolas esféricas macizas iguales.
a) ¿Cuál es el radio, en mm, de cada una de las bolas?
b) ¿Cuál es la superficie, en dm2, de cada una de las bolas?
    Representa gráficamente tanto el cubo como las bolas.
(5 puntos)

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